摘要针对突发公共卫生事件应急管理体系中应急物资需求的7=确定性和连续性以及应急救援是一个同时在多疫区间展开的多周期救援过程这一实际，提出了多疫区多周期应急物资协同优化调度方案．首先在分析传染病扩散规律的基础上，结合传染病潜伏期的不确定性所引起的应急救援的时滞性，采用纵向配送和横向转运相结合的协同配送模式，构建了一类应急物流网络优化多目标随机规划模型；其次采用遗传算法给出了该优化模型的求解算法；最后通过仿真算例验证了模型及算法的有效性和可行性．

    关键词应急物流；传染病扩散模型；协同优化；随机规划；遗传算法

    A b s t r a c t S i nc e d e m a n d o f e m e r g e n c y ma t e r i a l s i s us u a l l y un c e r t a i n a n d c o n t i n uo u s a n d t h e e m e r g e n c yr e s c u e p r o c e e d i n g wh i c h i s c o n s i s t o f mo r e t ha n o n e p e r i o d a l wa y s t a k e s pl a c e i n m u l t i pl e e pi d e m i c a r e a sa t t h e s a m e t i m ea n o p t i m a l mu l t ipe r i o d c o l l a b o r a t i v e s c h e d ul i n g o t’e m e r g e nc y ma t e r i a l s f o r mul t i p l ee pi d e m i c a r e a s i s pr o p o s e d．Fi r s t l ywi t h t he c o n s i d e r a t i o n o f t h e d e l a y c a u s e d b y t h e l a t e n t p e r i o d o fa n e p i de mi c a n d t h e c o l l a bo r a t i v e s t r a t e g y b a s e d o n v e r t i c a l d i s t r i b u t i o n a n d t r a n s v e r s e t r a n s p o r t a t i o na mu l t io b j e c t i v e s t o c h a s t i c p r o g r a mmi n g mo d e l f or a n e me r g e n c y l o g i s t i c s n e t wo r k i s c o n s t r u c t e d b a s e do n t h e e p i d e m i c d i f u s i o n r u l e sTh e n t h e g e n e t i c a l g o r i t h m i s a do p t e d t o s o l v e t h e o p t i m i z a t i o n m o d e 1Fi n a l l yt h e a p p l i c a t i o n o f t h e mo d e l i s g i v e n b y a n u m e r i c a l e xa m p l e．

    K e yw o r d  s e m e r g e nc y l o g i s t i c s；S EI R mo d e l；c o l l a b o r a t i v e o p t i mi z a t i o n；s t o c h a s t i c p r o g r a m mi n g；g e n e t i ca l g o r i t h m

1引言

如何增强应急救援网络的物资配送效率，提出合理的应急物资调度策略，是应急物流研究的一个关键问题，具有非常重要的理论和实际意义．因此，国内外很多学者都开展了这方面的研究．按照优化目标的不同，现有的研究主要包括以下两类：一类把最大化应急反应速度作为优化目标，K e m b a l l—C o o k等…于1 9 8 4年首先提出在救援物资运输时对物流管理的需要，以提高运输效率；何建敏等_2 J、O z d a m a r等_l 3 J、S h e u[、计国君等徐琴等[。]也以应急物流反应速度为目标，探讨了不同环境和条件下的应急物资调度问题．另一类是把最小化应急运输成本作为目标，R a y[、E l d e s s o u k i[引、R a t h i等[{)]和H a g h a n i等_1 0_在不同的约束条件下研究了以最小化运输费用为目标的应急救援物资运输的问题．

目前国内外关于应急物资调度研究中存在以下两个方面的限制：一方面，很多关于应急物资调度的研究都是建立在给定应急物资需求量的基础上；另一方面，多数的应急物资调度问题考虑的都是从国家储备库或地方储备库到应急需求点的物资调度，没有考虑应急物资在各个疫区之间的横向转运．基于此，我们在文献[1 1]和[1 2]中分别研究了这两个问题，通过传染病扩散规律所得出的随时间变化的需求建立了传染病扩散网络与应急救援网络之间的联系，讨论了单疫区环境下基于不确定需求时间的多周期应急物资调度问题，并证明了基于纵向配送和横向转运的应急物资协同调度策略在成本和时间上要优于单纯的纵向配送策略．本文将在此基础上把两者集成起来，将基于纵向配送和横向转运的应急物资协同调度策略应用于多疫区环境下的多周期应急救援问题，获得这种情况下的物资协同优化调度方案．

2多疫区多周期应急物资协同调度问题描述

    当某一种流行性传染病爆发后，尽管会采取严格的隔离措施，但由于人口流动等原因，病源不可避免会被传播到其他地区，特别是与初始疫区距离较近的周边地区，被疾病传染的概率更大．因此，需要研究如何在疫区数不断变动的情况下，根据各周期各疫区的不同疫情程度，在各疫区之间合理分配应急资源，有效地提高应急救援效率．

    记={t i k】i=0，1，2，…，n 1；=1，2，…)为各疫区救援时间集合，其元素是当前各疫区下一周期的救援开始时刻，即％表示第i个疫区在其第k次应急救援的开始时刻．中最小元素t i≈所对应的第i个疫区即为应急救援系统下一周期要救援的对象．

    传染病爆发后，对于初始疫区的救援过程与文献『1 1]中描述的应急救援程序相同，直到出现新的疫区后，系统开始执行下面的应急救援过程．首先判断是否有新增疫区，如果有则进入第一阶段，根据传染病的传播规律计算得到该新增疫区整个救援过程所需要的时间；如果没有则直接进入下一阶段．第二阶段分为两步，第一步对于新增的疫区，在中添加与新疫区对应的下一周期应急救援时间；对于原有疫区，若上一周期的应急物资最后消耗时刻没有超过该疫区的整个救援周期长度，则将其更新为下一救援周期的开始时刻，若上一周期的应急物资最后消耗时刻超过了该疫区的整个救援周期长度，则从中删除与该疫区对应的元素．第二步预测中最小时刻对应疫区下一周期的需求．第三阶段通过纵向配送和横向转运相结合的应急物资协同调度策略，在所有应急储备库和已结束应急救援的疫区中选择合适的出救点对待救援疫区进行应急救援，已结束应急救援的疫区的应急物资供应量为其满足自身消耗之后多余的物资量．第四阶段计算本次运抵疫区的应急物资能消耗的时间，用于更新集合中的元素，并判断该疫区的疫情是否能够通过本次救援得到控制，如果能够得到控制，则该疫区在以后的时间里将不再需要被救援，否则下一周期救援仍要考虑该疫区的需求．以上过程会循环执行，直到为空，即所有疫区的疫情都得到控制．

3多疫区多周期应急物资协同调度模型

    基于上节描述的多疫区环境下应急救援指挥中心对储备网络资源进行多周期调度的思路和过程，本节将根据每个救援周期不同阶段的要求和任务建立相应的模型，构成整个多疫区多周期应急物资调度模型的框架．模型的假设条件如下：

    1)各储备库与疫区之间的距离已知．事实上，疫区周围应急储备库的数量、地点是在爆发流行性传染病之前就早已由国家应急管理机构设置好的，任何地点发生疫情，都能立刻计算出其与周围各应急储备库的距离．

    2)假设被传染的新疫区都在初始疫区周围地区，即所有疫区之间的距离较短，而都距离应急储备库较远．

    3)各待救援疫区每周期所需要的应急物资都是一次送达．

    4)为了模型表示的简单，在模型中只考虑一种应急物资的配送问题．

    5)疫区随时间变化的应急物资需求与感染者的人数成正比，其中感染者人数的预测可以通过传染病扩散规律获得．

3．1带有不确定潜伏期的S E I R传染病扩散模型

    本文研究的是某一地区流行性传染病传染到其他地区情况下的应急救援问题，因此各疫区的传染病具有相同的传播规律，这里采用统一的S E I R传染病扩散模型来描述这种传播规律．将人群分为四类：易感者(s)、潜伏期患者(E)、感染者(I)和治愈者(R)，对于不同的疫区，参数的取值有所差别，要根据各个疫区的实际情况来确定．式(1)描述的传染病模型_1 3]是计算各个疫区整个救援周期的长度以及各周期应急物资需求量的依据．

       

    在该传染病模型中，变量s，(t)，()，()，R，(t)分别表示t时刻第J个疫区易感者、潜伏期患者、染病者以及治愈者的数量．参数为第J个疫区种群的常数输入率，为第J个疫区种群的自然死亡率，J为第J个疫区染病者的因病死亡率，7，为第J个疫区染病者的恢复率，为第J个疫区疾病的传播系数，丁为潜伏期，假定其为服从某一分布的随机变量．参数A，d，，都是正的，参数．非负．在此模型中，假设所有迁入者都是易感者．对于不同的疫区，爆发流行性传染病的时间：不同，^5 r，E，，R的初始值也不相同．

3．2各疫区随时间变化的应急物资需求预测模型

    这里所采用的需求预测模型如下[4]．

    其中，D(t)是对t时刻第J个疫区应急物资需求量的预测．S T D(t)代表t时刻第J个疫区染病人数的标准差，可通过如下公式计算得到：

3．3应急配送优化模型

    模型的参数：N1(t)表示t时刻所有疫区编号所组成的指标集；N2(t)表示t时刻需要被救援的疫区编号所组成的指标集；a i(i=1，2，…，m)表第i个储备库；b(J∈Ⅳ]())表示第J个疫区；q a i(t)表示储备库a i在t时刻的库存量；q b(t)表示疫区b j在t时刻的库存量；c a表示储备库a到疫区b j的单位物资运输成本；c b k表示疫区6到疫区b j的单位物资运输成本；w a表示储备库a i的车载容量(假设各储备库分别只使用一种型号的车辆)；w b k表示疫区6的车载容量(假设各疫区分别只使用一种型号的车辆)；n a()表示储备库a在t时刻可用的车辆数；n b k(t)表示疫区6≈在t时刻可用的车辆数；t a表示从储备库a到疫区b，所需要的时间；t b k表示从疫区6到疫区b所需要的时间；D表示疫区b y对应急物资的需求量；表示运输时间阈值(超过该时间应给予相应的惩罚)；表示超过运输时间阈值的延期罚函数系数，定义为单位未满足货物需求量延续一个时段对目标函数的增加量；表示应急救援物资总量达到需求的置信水平．模型的变量：X i(t)表示储备库a t在t时刻是否运输应急物资到疫区b的0—1决策变量，若储备库a i运输应急物资到疫区b j，则X i(t)=1，否则(t)=0；Y k(t)表示疫区6在t时刻是否运输应急物资到疫区b j的0一l决策变量，若疫区6运输应急物资到疫区J，则Y(t)=1，否则Y j(t)=0．

    基于以上模型的描述与假设，则可以建立如下应急救援时间最短和应急救援运输成本最小的多目标应急救援物资的配送决策模型．

目标函数：

  

    第一个目标函数式(4)是最小化从各个出救储备库及出救疫区到待救疫区的最长时间；第二个目标函数式(5)是最小化总的应急物资运输成本．

    对于该优化决策问题，有以下几个约束条件

    约束条件式(6)保证从被选择参与应急救援的储备库和疫区运送到待救援疫区的应急物资能够以概率满足疫区的需求，其中出救疫区的物资量等于其满足自身消耗后多余的物资量；约束条件式(7)中的D(t)是疫区b j在t时刻对应急物资的需求量，依赖于上一节讨论的随时间变化的需求预测模型；约束条件式(8)(1 1)是由模型中各参数的定义和范围决定的．

    对于目标函数，本文设定一个应急救援时间阈值，将时间亦看作成本的一部分，称为时间成本，定义为罚系数与延迟时间的乘积．若救援物资不能在规定的时间内运送到疫区，则时间成本增加，否则时间成本为零．这样处理，可以将时间成本和运输成本相加得到总成本，将多目标最优化问题转化为总成本最小的单目标最优化问题，从而可以用单目标优化问题的解法对该问题进行求解．新的单目标优化问题如下：

且满足式(6)(1 1)．

3．4各疫区每周期应急救援物资的消耗时间计算

    疫区b，应急物资的消耗速率取决于的染病人数乃(t)以及从储备库运送到疫区b j的物资量z l i j(t)和从其他疫区运送到疫区b y的物资量z 2 k，(￡)．这里，用t+L／2时刻的染病人数代表这段消耗时间内的每个时刻的平均染病人数．记(t)为消耗时间，则

   

    根据每周期应急物资的消耗时间确定本救援周期的长度以及下一救援周期的开始时间，并更新中与疫区b j对应的元素．如果计算得到的下一个救援周期的开始时间超过了整个救援周期的结束时间，则在中删除与疫区b j对应的元素．

4多疫区多周期应急物资调度模型求解

    S E I R模型式(1)可以通过Ma t l a b的d d e 2 3函数”进行求解，随时间变化的需求预测以及应急物资消耗时问可以分别通过公式(2)和(1 3)计算得到．因此，本节主要讨论应急配送优化模型的解法．对于混合整数随机规划至今没有一个很好的解决方法，本文采用基于随机模拟的遗传算法对式(1 2)所描述的问题进行求解．

4．1遗传算法操作说明

    1)染色体编码

    采用二进制编码的方法，假设在t时刻总的疫区数量为n，待救援的疫区数为礼，即l N1(t)I=T t 1，l N2(t)I=礼z，n n 2．采用如图1所示的编码方案：将每个染色体分成长度相等的啦段，每段含有m+n一n。位基因，m代表的是所有储备库的数目，T t一n z是能够参与救援的疫区的数目，整条染色体的基因数目为(m+n 1一n 2)×竹2．第J(J=1…2…，)段染色体的前T t％位基因中，第i(i=1，2，…，m)位基因若为1，则代表储备库a参与对疫区b j的救援，否则储备库a i不参与对疫区b y的救援．第J段染色体的后咒1一n 2位基因中，第k(k 1，2，…，n一n 2)位基因若为l，则代表疫区b参与对疫区b j的救援，否则疫区b不参与对疫区b的救援．

  

    在同一条染色体中，每段染色体的相同位置上的基因最多只能有一个为1，其他的都为0，因为在本模型的建立过程中隐含了每次救援过程中每个出救点都只能对一个待救援疫区进行救援．

    2)适应度定义

    适应度是判断染色体性能好坏的标准，因此一般情况下都是适应度越大越好，而本模型中的目标变量是使得时间成本和运输成本的总和最小化，因此适应度函数的值正好与目标函数呈反向变化，令其适应度函数为^一[()]_。，则，h越大，表明h的性能越好，对应的解越接近最优解．

    3)选择算子

    采用保留最佳个体与旋转轮盘赌相结合的方式，每次为新的种群选择一个染色体，选择过程如下：

    S t e p 1以适应值函数的值为序，使染色体由好到坏进行重排，^越大，则染色体h越好，其序号越小．设参数a∈(0，1)给定，定义基于序的评价函数为

    i=1时意味着染色体是最好的，i=礼时是最差的．选择序号为l的染色体复制到下一代，其余染色体按如下步骤操作．

S t e p 2对每个染色体h。，计算累计概率P

 

    4)交叉算子

采用二点交叉，具体做法为随机设定两个交叉点，在两个交叉点之间的码串相互交换，其余保持不变．一般而言，交叉概率P。为0．2 5- 0．7 5．

5)变异算子

    采用交换变异操作，在个体串中随机挑选两个交换点，将两个交换点上的基因值交换．变异概率P与生物变异极小的情况一致，所以，p．m的取值较小，一般取0．0 0 1—0．2．

    需要说明的是，由于在编码过程中，要求同一条染色体中，每段染色体的相同位置上的基因最多只能有一个为1，其他的都为0，而在交叉和变异的过程中，这一规则可能遭到破环，因此每次执行交叉或变异操作后都要检验新生成染色体的合法性，对于不合法的染色体要进行修正，具体修正的方法为：将按照编码操作中介绍的分段规则分段的每段染色体中相同位置上的基因值相加，如果和大于1，则在这几个基因位中随机选择一个，将其基因值设为1，其它全部设为0．这就保证了一个出救点只能对一个入救点进行救援．

4．2遗传算法步骤设计

    多疫区多周期应急物资调度模型的遗传算法步骤如表1所示．

5数值仿真

    本节通过一个数值仿真例子来说明当某一种传染病在某一地区爆发并在一段时间后陆续蔓延到其他地区时本文所提出的模型及算法的有效性．假定流感在某一地首先爆发，并在一段时间后陆续蔓延的邻近的其它2个地区，在疫区及疫区的周围有7个应急储备库．已知上述信息，我们用本文提出的应急救援方案来对该疫区及其蔓延地区的救援行动进行决策．

    各个疫区传染病扩散模型(1)中的参数如表2所示．假设该流行性传染病的潜伏期丁服从均值为1的泊松分布．对于每一个疫区，利用Ma t l a b 7．1的泊松函数可以得到潜伏期7-的5 0个样本(Ⅳ=5 0)，并通过求解方程(1)得到不同潜伏期下某一时刻的染病人数，这些与不同潜伏期对应的染病人数将用于配送优化模型中随机约束条件的Mo n t e C a r l o检验．

图2(a，b，C)是各疫区传染病扩散模型(1)的数值仿真曲线，图中的四条曲线分别代表四类人群(s，E，，R)随时间变化的数值．从图2(a，b，c)可以看出，疫区b，b 2，b 3的染病人数^，，的数量分别大概在疫情开始后的1 6天、1 9天、2 1天内下降到0，也就是说，如果应急救援能够将治愈率始终保持在较高的水平，那么这三个疫区分别经过1 6天、1 9天、2 1天的救援工作，疫情就能够得到控制．因此，这三个疫区的整个救援周期分别为1 6天、1 9天和2 1天．

    设定本算例中各救援周期的参数如表3，每次求解时都设置种群每一代的种群规模为5 O，交叉概率和变异概率分别为0．6和0．0 1，根据本文提出的遗传算法迭代2 0 0代，计算后可得到如表4所示的各周期应急救援决策．

    从表4可以看出，救援工作进行四个周期后，由于疫区b，b 2，b 3的救援工作均已经结束，而且没有新的疫区产生，此时Nl(t 5)={b 1，b 2，6 3)，N2(t 5)=，=，至此，整个救援工作全部结束．

6结论

    本文针对一个由带有潜伏期的传染病爆发引起的多疫区多周期应急救援问题，提出了一个应急救援程序．该应急救援程序主要包括四个阶段：第一阶段根据传染病的传播规律计算得到新增疫区整个救援过程所需要的时间；第二阶段更新各疫区救援时间集合，计算下一救援周期的开始时刻及需求；第三阶段通过纵向配送和横向转运的应急物资调度策略，在所有应急储备库和已结束应急救援的疫区中选择合适的出救点对待救援疫区进行应急救援，建立随机规划模型，并通过带有Mo n t e C a r l o检验的遗传算法进行求解，以获得每周期应急救援的最优决策；第四阶段计算本次运抵疫区的应急物资能t肖耗的时间，判断疫区救援工作是否结束．以上四个阶段要循环进行，直到所有疫区的救援工作均已结束．通过一个仿真算例，证明了该应急救援程序以及模型求解算法的有效性．

  

    本文还存在一些局限性，如只考虑了一种应急资源的调度，如果考虑多种应急资源的同时调度，结果会更加复杂，但更符合实际；另外在本文的研究中假设各周期的储备库应急物资补充与每周期救援时间的长度及应急物资消耗时间长度无关，但事实中能否在下一救援周期开始之前补充足够的物资对应急工作的正常进行起着非常重要的作用，这些问题有待于进一步深入研究．